什么等式是方程(方程与等式有什么关系和联系)

一.概念描述

现代数学:方程亦称方程式,是数学的一个重要概念和研究对象。它一般指含未知数或变数的等式,不仅指代数方程。

小学数学:2005年北京版教材第9册的第122页指出:像2x= 100,2x+50=100+50,x-7=9,4x+3=15这样的含有未知数的等式都叫作方程。2006年人教版教材五年级上册的第54页指出:像100+x= 250这样的含有未知数的等式,称为方程。

二.概念解读

在初等代数中,只论代数方程,含有未知数的代数式的等式称为方程。按方程的解的状况,常把方程分为三类:

①条件等式方程,例如,2x+5= 3x就是满足x=5这个条件的等式。普通所说方程,常指的就是这类;②矛盾方程,如(x-2)2=x2-4x+1,无论x取什么数值,都不能使这个等式成立;③恒等方程,例如,(x-2)2=x2+4x+4中的未知数x,可取一切数值,等式恒成立。

在解析几何中,在平面或空间建立某种坐标系后,几何图形(例如曲线和曲面)常可用点的坐标所应满足的一个或几个方程来表示。例如,在空间直角坐标系中,平面由一个三元一次方程表示,直线由两个三元一次方程表示。

在现代数学中,把含变元的等式称为方程。例如,变元为未知集合的集合方程(A∩X)UB=B;变元X为未知命题的逻辑方程(pɅx) νq=1等。

二.教学建议

(1)认识方程,学习用字母表示数是首要环节

学习用字目表示数,是代数学习的首要环节;理解用字母表示数的意义,是学习代数的关键,也是在后续学习中运用代数式、方程、不等式、函数进行交流的前提条件。字母表示数的思想,深刻地提示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性,把认识和推理提到一个更高的水平。学生对用字母表示数的理解,要在经历大量运用字母表示具体情境下数量关系的活动中实现。

英国一项关于儿童数学概念发展水平的研究表明,学生对字母表示数的理解方式可以由低到高地概括为六个水平:

①一看到字母,就直接赋予它一个数值;②对题中的字母视而不见,不理睬,或者承认其存在,但不赋予它任何意义:③把代数式中的字母看作具体物体的记号,或直接看作物体;④把字母看作特定的未知量,这时字母在儿童心中是某个(具体的)未知数的记号,可以直接参与运算:⑤把字母看作广义的数,这时,在儿童心中字母是数,而且可以取多个值:⑥把字母看作变量,即儿童把字母看作可在一定范围内变的数,两组这种数之间有一种系统的关系。

研究还表明,只有少部分学生把字母看作广义的数,把字母看作变量的就更少了。大多数学生把字母当作具体的对象。正如一位教授所言,字母表示数,是一个非常丰富而又难产的概念。由此,我们要建立这样的认识:学生经历从用数字表示数到用字母表示数的过程是一个漫长的过程,需要经历大量的活动,积累丰富的经验,要让学生和具体情境中反复体会用字母表示数的意义。在小学,学生对代数知识的认识非常肤浅。例如,许多学生认为2x=7 与12y=7的意义不同。我们要注意纠正学生在学习中形成的不恰当概念。在教学时,从学生熟悉的生活中选择一些典型的数量关系,引导学生用字母表示数。具体说来,教师要抓住三个环节:如何引入用字母表示数;怎样引导学生理解含有字母的式子不仅表示数,还表不数量关系;注意让学生体会用字母表示数的好处。

(2)认识方程,让学生经历建立方程模型的过程

方程思想的首要方面是能根据具体问题中的数最关系列出方程,体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。因此,教学应通过设计丰富的情境,让学生经历建立方程模型的过程。在教学认识方程时,教师就要有建模意识。

小学生由于认识的局限性,他们往往把运算中的等号看作做什么的标志。如在算式3+2的后面写上等号,往往被理解为执行运算的标志。他们通常把等号解释为答案是……;而实际上,他们应把等号看作相等和平衡的符号,逐步认识到:这个符号表示一种关系,即等号两边的数量是相等的,也就是在3+2与5之间建立了相等的关系。由此可见,在以往的教学中,我们要注意纠正如下错误,如学习两步计算的实际问题时,有学生列出这样的算式:3×5=15+2=17(本)。而正确的写法应当是:3×5=15(本),15+2= 17(本),或3×5+2=17(本)。认识方程以及后续方程的学习,等式是学生需要面临和着力理解的重要代数概念。

天平为处理方程提供了一个强有力的智力图像。方程类似于一组天平,方程中的等号表示处于平衡状态—用天平平衡的道理,可以形象直观地帮助学生深化对相等关系的理解。利用等式性质解方程,重要的是帮助学生建立如下规则:在等式的两边进行相同的运算,那么平衡就得到维持。解方程的过程,不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程,而应当成为深刻理解上述规则的过程。

还要指出的是:在教学解方程的过中,教师还要注意教给学生检验的方法,并在练习中经常提醒学生对解方程过程中的每一步进行检验。

四.推荐阅读

《小学数学教学策略》(张丹,北京师范大学出版社,2010)

该书的第133-141页注意论述了方程的教学策略。

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